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極限::計算

瞭解微分(Differential)的概念之前，要先知道何為極限(Limit)，但我們又可以反過來用微分來計算極限。本文以不太嚴謹的方式介紹極限計算常用的夾擠定理(Squeeze theorem)與羅必達法則(L'Hôpital's rule)，閱讀本文妳需要有基本的微分能力。 文章難度：\(\spadesuit\)  \(\spadesuit\) / 5
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淺談條件機率(五)：貝氏定理的能力(III)


(七). 貝氏定理的能力（III） 趨近真實
呼應（二）的開頭，Nate Silver寫在他的書「精準預測」裡的話：這個定理（Bayes’s Theorem）卻要你接受，你對這個世界的主觀感知就是在趨近真理。至於趨近的方式，我們舉的例子發生在2011年9月11日。
那天早上起床的時候，我們多數人幾乎都不會指派任何機率給像是：恐怖分子用飛機撞進曼哈頓的大樓這樣的事件。但是當飛機撞上曼哈頓下城區的世界貿易中心時，一切就改變了。第一架飛機撞擊的剎那間，遭受恐怖攻擊的機率從接近零急速升高；當第二棟大樓一被撞上，遭受攻擊這件事已經無庸置疑了。
現在我們試著用貝氏定理複製這個結果：
首先，我們需要事前機率來作為估計的初始值。
九一一事件之前的兩萬五千天之中，曼哈頓上空只出現過兩次這樣的意外：一次是1945年，一架美軍B-25轟炸機因天氣不佳撞入帝國大廈79樓；另一次就是隔年，華爾街四十號的川普大樓在濃霧中被美國海岸防衛隊所屬的飛機撞上。
因此，在特定的任何一天，這種意外發生的機率就是一萬兩千五百分之一，或是0.008%。其中可能有各種原因，最常見的是天氣因素，屬於恐怖攻擊的當然更低。現在，我們假定：在第一架飛機撞上之前，曼哈頓的高樓遭受恐怖攻擊的可能性大約是兩萬分之一，或是0.005%。
假如我們把恐怖攻擊（Terrorist Attack）的事件叫做 A，飛機撞上曼哈頓區高樓（Airplane Crash）的事件叫做 C
… … … … 第一個時間點 … … … …
A1.    事前機率（或稱作先驗機率prior probability）：
恐怖份子會用飛機撞上曼哈頓的摩天大樓，其可能性初始估計：
P(A ) = 0.005%
A2.    新事件發生：第一架飛機撞上世貿中心
                            i.    如果恐怖份子攻擊曼哈頓的摩天大樓，飛機撞上的機率：
P(C|A ) = 100%
                          ii.    恐怖分子沒有攻擊曼哈頓的摩天大樓，飛機因意外撞上的機率：
P(C|A’ ) = 0.008%
A3.    事後機率（或稱作後驗機率 posterior possibility）：
已知第一架飛機撞上世貿中心，對恐怖攻擊修正後的機率估計：
然而，貝氏定理背後的概念不是要我們只更新一次機率的估計就好。而是說：隨著新資訊的傳入（新的證據出現），我們就應該不斷地這樣做。因此，當第二架飛機撞上時，我們接著導入新的事前機率：
… … … … 第二個時間點 … … … …
B1.     事前機率：
已知第一架飛機撞上世貿中心，對恐怖攻擊修正後的初始機率估計：
P(A ) = 38%
B2.     新事件發生：第二架飛機撞上世貿中心
                            i.                如果恐怖份子攻擊曼哈頓的摩天大樓，飛機撞上的機率：
P(C|A ) = 100%
                          ii.                恐怖份子沒有攻擊曼哈頓的摩天大樓，飛機撞上的機率：
P(C|A’ ) = 0.008%
B3.     事後機率：
已知第二架飛機撞上世貿中心，對恐怖攻擊修正後的機率估計：
在修正之後，我們幾乎可以完全確定，911事件源於恐怖攻擊。而隨著事態一步步演進，加入的資訊越來越多，貝氏定理可以讓我們從一無所知迅速逼近事實。
… … … … 
一眼就能看穿他人職業是福爾摩斯最神奇的能力。福爾摩斯和華生第一次遇見是在「血字的研究」裡，見面後福爾摩斯就用肯定的語氣對華生說：「你好，你去過阿富和。」... 當場嚇了華生一跳！！
福爾摩斯曾經寫到：一個邏輯學家不需要親眼見到或者聽說過大西洋或是尼加拉瓜瀑布，他能從一滴水推測出他們存在的可能。整個生活就是一個巨大的鏈條，只要見到其中一環，整個鏈條的情況便可以推想出來了。
因此現在，我們試著練習從端倪窺探出某個結論。比方說一個有點邪惡的問題：在逛街時，看到一位身形佝僂，步履蹣跚的六十五歲老人，請問他得到癌症的機率有多少？
假定有得到癌症（Cancer）用C表示。
在對要推論的對像還一無所知時，我們只有一個先驗（事前）的結論：任何一個人得到癌症的機率P(C ) = 1%，這是我們在還沒加入其他額外資訊前所擁有的結論。
因為身形佝僂，步履蹣跚不好量化，我們在這裡只討論新加入的資訊：65歲對於我們推論的影響。
假如我們把65歲（Age 65）用65A 表示，並且認為癌症和年紀是有關聯的。
根據一個地區人口分布的統計資料，假設我們在路上遇見65歲老人的機率P(65A ) = 0.2%。而公共衛生統計告訴我們：一位得到癌症的病人是65歲的機率P(65A |C ) = 0.5%。
綜合以上敘述，當多加了年紀的新資訊後，我們要計算的機率就變成：
P(C |新資訊) = P(C |65A ) = P(C ) P(65A |C ) / P(65A ) = 2.5%
日常生活中，我們往往不自覺地不斷進行著這樣的推論過程：
比方說家裡門鈴響了，門口會出現男生或女生的機率都是二分之一。
假如你媽讓你拿錢去門口接外送的披薩，那門口出現男生的機率就大很多了，因為在我們過去的經驗裡，送披薩的大部分都是男生。







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