極限::計算

瞭解微分(Differential)的概念之前，要先知道何為極限(Limit)，但我們又可以反過來用微分來計算極限。本文以不太嚴謹的方式介紹極限計算常用的夾擠定理(Squeeze theorem)與羅必達法則(L'Hôpital's rule)，閱讀本文妳需要有基本的微分能力。

文章難度：$\spadesuit$ $\spadesuit$ / 5

P.S. 真的很喜歡Arduino帶有「無限」概念的符號呀～

       首先，先講三明治定理(夾擠定理)。

       如果我們要求的函數的極限很難直接算出來的話，這邊教妳其中一個辦法：去看與他很靠近的同伴，俗話說：近朱者赤；近墨者黑，要知道一個人與自己和不和，就要看他的原生家庭或是閨密。至於為什麼不找本人了解？就是因為看不懂本人的個性啊，所以才去找容易被了解的閨密(最好是一條腸子通到底的那種)。

       那麼，我們至少需要找幾個好懂的同伴呢？答案是：2個。

       一個是我們要求的函數(假設叫$f$)的下限，假設我們叫作：$g$；一個是$f$的上限，假設我們叫作：$h$；而且符合這個狀況：$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

我們這裡設$I$為包含某點 $a$的區間，$f$、$g$、$h$為定義在$I$上的函數。

      若對於所有屬於$I$ 而不等於$a$ 的$x$，滿足上式的上下限關係，因為$f$的上下限，也就是$g$和$h$在$x\rightarrow a$的時候，趨近同一個極限：$L$

$$\lim_{x\rightarrow a} g(x)=\lim_{x\rightarrow a} h(x)=L$$
(這個是不一定會達成的喔，所以妳要故意去讓妳選擇的$g$和$h$，在$x\rightarrow a$的時候，達到同一個極限$L$。並且$g$和$h$一個小於$f$；一個大於$f \leftarrow$這個條件比較好達成。當然別忘了，要找得到$g$和$h$達成目標的先決條件是...$f$有極限啊～)

      所以被夾在中間的$f$，當然也會在$x\rightarrow a$的時候，趨近$L$了喔！

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      現在這樣講，妳肯定不知道怎麼用，什麼找同伴，或是怎麼讓上下限的$g$和$h$在的時候，趨近同一個極限：$L$。在在都讓人霧煞煞，很難懂啊啊啊啊啊啊啊～

      沒關係，不要驚慌，後面幾篇會找一些例題讓妳很快就有一咪咪瞭解，而在今天，我們就來看個經典的例子。

範例一：計算$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta }{\theta }$的極限值

現在我們要用三明治定理嘗試解決這個歷史上得到三角函數微分公式必經的障礙物：

到底$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta }{\theta }$是多少呢？如果直接把 0 代入角度，我們會得到$\frac{sin\theta }{\theta }=\frac{0}{0}$這個莫名其妙的結果，因為 0 在分母是無窮大；而 0 在分子跟任何人相乘應該是 0，到底無窮大乘以 0 會是多少呢？這是個有意義的計算嗎？是不是真的就無意義呢？

【解法一】：夾擠定理(作圖算面積)
我們試試看找閨密來瞭解一下：首先畫一個單位圓(半徑為1單位)，令$\angle AOB=\theta$，在$0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$區間內(角度維持在第一象限)

從圖形很容易看到：$\Delta OBD$的面積$\leq$扇形$OBA$的面積$\leq \Delta OAC$的面積
也就是說(快來算一下上面三個面積吧！)：

$$\frac{1}{2}\cdot cos\theta \cdot sin\theta \leq \frac{1}{2}\cdot1^{2}\cdot \theta \leq \frac{1}{2}\cdot tan\theta$$
整理一下就變成：$cos\theta \leq \frac{sin\theta }{\theta }\leq \frac{1}{cos\theta }$

而因為閨密們$\lim_{\theta \rightarrow 0^{+}}cos\theta =1=\lim_{\theta \rightarrow 0^{+}}\frac{1}{cos\theta}$，所以由三明治定理知：

$$\lim_{\theta \rightarrow 0^{+}}\frac{sin\theta}{\theta } =1$$
同理，在$-\frac{\pi }{2}\leq \theta \leq 0$區間內，我們也有：$\lim_{\theta \rightarrow 0^{-}}\frac{sin\theta }{\theta }=1$

(記得一點，我們為了要讓$sin$有反函數，因此定義了角度$\theta$必須在$-\frac{\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}$這兩個正負區之間。)

因此得到：$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta }{\theta }=1$

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【解法二】：分子分母上下約分(角度近似) 
因為我們知道，當$\theta$很小的時候，會有這個關係：
$$sin\theta \approx tan\theta \approx \theta$$
(別忘了，這個近似在很多物理計算常常用啊～)，所以$\frac{sin\theta }{\theta }$在角度很小的時候就會趨近於$\frac{ \theta}{ \theta}$，上下把$\theta$約掉，就可以得到：$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta }{\theta }=1$

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【解法三】：羅必達法則
(L'Hôpital's rule，這個字來自於法文，有沒有長得很像英文的Hospital，醫院呢？沒錯！法文的Hôpital就是醫院的意思，所以這個法則又被叫作：L'Hospital's rule)

在使用L'Hospital's rule之前，要先確定有那個屁股(有那個咖ㄘㄥ，才能吃那個瀉藥的意思)，那什麼樣的屁股是可以的呢？當妳直接把要趨近的數值代進方程式的變數以後，發現式子變成『極大與極小的融合體』，那恭喜妳，妳很有可能找到那些特殊的屁股之一了。

因為這些融合體會讓妳不知道結果是無窮大、0，或是某個固定的數值(簡直就是「未定之天」啊～)，像是：$\frac{0}{0}$，$\frac{\infty }{\infty }$，$0\cdot \infty$，$\infty ^{0}$，$1^{\infty }$，$0^{0}$，$\infty -\infty$

妳會發現，其實$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty }{\infty }$互為倒數，也等於$0\cdot \infty$的狀況，而這三個也是讓我們最常使出醫院法則的屁股喔！

而我們要找的$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta }{\theta }$在把 0 代入角度變數$\theta$ 以後，會得到$\frac{0}{0}$這個結果，所以就安心使用醫院法則吧！

醫院法則極為簡單，就只有三個步驟：

1. 檢查屁股：代入變數要趨近的數值
2. 分子分母各別微分，再重新組裝回分數
3. 再次檢查屁股：如果屁股還存在，請回到步驟2.，再來一次

以這個範例來看：

1. 要計算$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta }{\theta }$，角度變數$\theta$ 代入 0，檢查屁股的結果，得到$\frac{0}{0}$
2. 上(分母)下(分子)各別微分，分子得到：$\frac{d}{d\theta }sin\theta =cos\theta$，分母則是：$\frac{d}{d\theta }\theta =1$，所以原式變成了：$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{cos\theta }{1}$
3. 再次檢查，$\theta$重新代入 0，發現：$\frac{cos0}{1}=1$
4. 已經不是屁股了，是確定的數值(在其他問題中，妳也有可能得到像是0或是$\infty$的結果，別懷疑，只要不是屁股，那就是答案)，所以此極限值為 1。

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