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極限::計算

瞭解微分(Differential)的概念之前，要先知道何為極限(Limit)，但我們又可以反過來用微分來計算極限。本文以不太嚴謹的方式介紹極限計算常用的夾擠定理(Squeeze theorem)與羅必達法則(L'Hôpital's rule)，閱讀本文妳需要有基本的微分能力。 文章難度：\(\spadesuit\)  \(\spadesuit\) / 5
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淺談條件機率(三)：貝氏定理的能力(I)


(五). 貝氏定理的能力（I） 違反直覺
我們都知道：對於一枚公正的硬幣來說，出現正面和反面的機率皆是50%，這代表說：當我們丟100次硬幣，出現正面的次數一定會是50次嗎？
既然我這樣問了，代表不會剛好50次。但直覺上來說，似乎丟100次這樣的硬幣，我們得到50次正面的機率應該相當的高。實際上，恰好出現50次正面的機率只有8%（雖然是最高的沒錯），出現40次正面的機率更低，大概是1%；不過要注意的是：出現正面次數在40次～60次之間的機率卻高達96%！
舉另一個例子：你看到一套防毒軟體，這個軟體聲稱會對你下載的所有檔案都掃描一次，病毒偵測準確度達99%。
這個「99%」令你眼前一亮，心想︰「這個軟體看來相當可靠，準確度99%呢！！！」於是你便把它買下，並成功把它安裝了。
安裝了這個軟件一段日子，有一天，這個軟件突然響起警報，這個時候最正常的問題便是「我下載的檔案真的帶有病毒嗎？」又或者說，這個軟體誤鳴的機率有多高？
你認為誤鳴率就是 100% – 99% = 1% 嗎？
首先，我們要知道：故事裡防毒軟體廣告中的99%是指，當有病毒入侵時，有99%的機率會響起警報 ßà 而不是當響起警報時，有99%機會是真的有病毒，這兩個概念是完全不同的。
如果下載的檔案有0.005的機會是帶有病毒（為了簡化問題，我們假設平均每200個下載的檔案中會遇見一個遭受感染的檔案）。
我們可以畫個表格來量化地說明這個問題：
警報響起
警報沒有響起
TOTAL
有病毒
99% × 0.005 = 0.00495
1% × 0.005
0.005
沒有病毒
1% × 0.995
99% × 0.995
0.995
TOTAL
0.0149
0.9851

運用貝氏定理，我們可以得出以下的結論。
當警報響起時，我們很不幸地下載到了有病毒的檔案的機率是：
P( 有病毒 |警報響起) = 0.00495 / (0.00495+0.00995) = 33%
換句話說，當警報響起時，居然有67%的機率是錯誤的！即便這個軟體偵測出錯的機率是那麼的低。
經過這個例子之後，你可能產生這樣的理解：「99%不代表什麼！！！原來這個機率是騙人的！！！我們不要理會它！！！」。
但不要忘記這是因為故事中病毒出現的機率是很小的0.005，所以才會造成這樣的效果。如果病毒出現率是5%或10%，你會發現這個99%準確度的軟體的確是很準確的。



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