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極限::計算

瞭解微分(Differential)的概念之前，要先知道何為極限(Limit)，但我們又可以反過來用微分來計算極限。本文以不太嚴謹的方式介紹極限計算常用的夾擠定理(Squeeze theorem)與羅必達法則(L'Hôpital's rule)，閱讀本文妳需要有基本的微分能力。 文章難度：\(\spadesuit\)  \(\spadesuit\) / 5
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淺談條件機率(二)


(三). 保險像種精確的賭博
保險是這樣運作的：如果你本身很容易發生危險，你就需要支付很多的錢來說服別人保護你；換句話說：在保險公司看來，給你保障的成本（或說是風險）很高。另一方面，如果長期以來，你證明了自己需要保險公司支出的資源很少很少，保險公司保護你的成本很小，你所需要支付的保險費用當然就相應的低了。
以保險公司決定車險費率的模型為例：現在考慮一個簡化的模型，在這個模型中，所有的人分為兩個群組，一個是高風險群，平均每年發生一次意外；另一個是低風險群，平均每年發生少於一次意外。如果你是個駕駛新手，你應該是屬於哪個風險群呢？
由於保險公司並沒有你的資訊，他們有可能根據一般新手的經驗值，認定你有三分之一的機會屬於高風險群、三分之二的機會屬於低風險群。這種情形下，你的保費就等於三分之一高風險群保費，加上三分之二低風險群保費。
經過一年觀察，保險公司就可以根據這個新數據來重新評估，修正三分之一與三分之二的比例，重新計算保費。隨後幾年，也可以依同樣的方式定期重新評估，看看收取多少才是恰當的保費金額。

(四). 真正的賭博 – 21點的故事
電影決勝21點，英文片名就叫作21，改編自小說“Bringing down the house”（bring down，有打敗的意思；house，可以指稱為賭場）。
內容敘述一個MIT（麻省理工學院）的高材生，獲得了哈佛醫學院的入學資格，但無法支付龐大學費。為了贏取獎學金，這位高材生必須有特別的經歷來讓口試老師驚艷。
有天，這位高材生被教授邀請，加入他領導的神秘的21點社團學習算牌。藉由算牌，這個社團贏遍了全美的賭城，而年青人卻漸漸地迷失在金錢世界之中…。
Bringing down the house改編自現實事件，真實世界的主角還是位華人，是一位聰明的馬先生（父親是化工教授）。
在這部電影，為何主角會被教授選上，進入了秘密的21點社團呢？原因是，他有來上課！喔，這是必要的！沒有啦，真正的關鍵是教授在上課時，問了一個問題，只有他答對了。
這個問題其實就是有名的Monty Hall Problem （Monty Hall是電視節目主持人的名字）：假設有三道門，其中一道門後面有輛車，選中即可贏得；另兩道門後面則各藏一隻羊（選中羊也不錯啊，可以吃羊肉爐）。
當參賽者選定了一道門，在還沒開啟它之前，主持人就會開啟剩下兩道門的其中一道，露出其中一隻羊，並且詢問參賽者：要不要換另一道仍然關上的門？
如果是由你來選，是換還是不換？電視節目就在此時，給大家一個很大的痛苦掙扎。好吧，你可能想：剩下兩道門，一半一半的機會，就讓幸運女神來決定，她到底愛不愛我？
事實上，答案並不是一半的機會，而會更好！為什麼呢？首先，我們要知道一件事：那就是主持人都知道哪個門後面是什麼。這是必定的條件，因為他必須開啟你選後的其中一道門，並且提供換門的機會；而他開的也必定是有羊的門 （他不會直接選汽車開給你看，那樣節目就不用做了）。 
Scenario 1. 如果你無意中選到了羊…：
                選到羊的機率是2/3，在主持人開了另外一隻羊之後，你可以有兩種選擇：(1) 不換門 à 那就沒救了  (2) 換門 à 得到夢寐以求的車子
Scenario 2. 如果你無意中竟然就選到了車！：
                一開始就選到車的機率是1/3，在主持人開了另外一隻羊之後，你一樣可以有兩種選擇：(1) 不換門 à 恭喜你得到車子  (2) 換門 à 依然沒救了
綜合以上兩種狀況：從頭至尾都不換門得到車子的機率是1/3；而中途換門得到車子的機率是2/3！是直接猜中的兩倍，也大於在主持人開了另外一隻羊之後閉著眼睛亂選的機率：1/2


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