跳到主要內容

極限::計算

瞭解微分(Differential)的概念之前，要先知道何為極限(Limit)，但我們又可以反過來用微分來計算極限。本文以不太嚴謹的方式介紹極限計算常用的夾擠定理(Squeeze theorem)與羅必達法則(L'Hôpital's rule)，閱讀本文妳需要有基本的微分能力。 文章難度：\(\spadesuit\)  \(\spadesuit\) / 5
張貼留言

淺談條件機率(一)

在這篇裡面，妳會看到幾篇小故事，夾雜一些旁白(或者說是碎碎念)，凡是「小故事」都會用細明體寫成，而「碎碎念」則是標楷體。

 (一).什麼是條件機率（Conditional Probability）？
假設小安參加一個電視益智節目，他必須在3個信封（顏色分別是紅、黃、綠）中選出一個，然後會得到所選信封中紙片上所寫的金額：其中有兩個信封中的紙片寫的是100元，第三個寫的是十萬元。
Scenario 1.：如果主持人沒有給任何提示，小安任選一個信封，得到十萬元的機率是1/3。
Scenario 2.：如果主持人在小安選擇之前，先打開紅色信封，並給小安看裡面的紙片寫著100元，那麼小安再選信封，得到十萬元的機率是1/2，而非情況一中的1/3。
在這個例子中很容易可以看出，得到十萬元的機率有兩個不同的值，因此一個事件的機率會隨著情境的不同（提供訊息的改變）而可能會有所改變，這便是條件機率的意義。
(二).貝氏定理用在外遇上

貝氏定理的開始和結束，都是用機率的表達式來表現現實世界事件的可能性。它不會要求你相信這個世界本質上是不確定的，但這個定理卻要你接受，你對這個世界的主觀感知就是在趨近真理。– 精準預測•Nate Silver
在一部電影中，主角是一位律師，他的工作順利，妻子迷人，家庭幸福。他深愛妻子與小孩，卻始終覺得缺少了什麼。
某天晚上他在回家的電車上，注意到一間舞蹈社的窗口站著一位美麗的女子，望著窗外沉思。隔天晚上他再次尋找她，再隔一晚又是如此。之後每個夜晚電車經過她的舞蹈社一次，他就更加為她傾倒。
終於有一晚，他衝動地下了車，報名參加舞蹈課程，希望能和那位女子有真正的邂逅。在他報名了課程，和那位女子頻繁地面對面接觸之後，他發現從前遠望她時那種縈繞心頭的吸引力，慢慢凋零了。他的確愛上了什麼，卻並非那名女子，而是跳舞。
他並未把這個新的轉變告訴任何人，包括家人及同事，而是不斷找藉口晚歸。他的妻子終於發現：老公並不像所說的那樣都在加班。她認為：如果老公有外遇的話，那麼說這種謊話的機率，一定比他沒有外遇要來得高；因此她得到這樣的結論：他有外遇！
假如我們是這個故事裡主角的妻子，我們知道的事實是什麼？
事實：老公每天晚上在外面鬼混。依據這個事實，下面兩個敘述是等價的嗎？如果不是等價的，哪個是電影中妻子的想法？哪個是我們可以得到的結論？
（1）「假如老公有外遇，因而在外面鬼混」的機率
（2）「假如老公在外面鬼混，那麼他就是在搞外遇」的機率
在妻子認為她老公外遇之後，心情非常難過及憤怒。在勉強度過了好一段思緒混亂徬徨的生活之後，妻子決心振作起來，用大學修過的機率論，試著計算出在目前混亂的情況下，老公有外遇的機率。
這時候，她遇到了一個關鍵性的問題：在還沒發現老公特意晚歸之前，她相不相信她丈夫的忠貞；用數學量化的方式來說：在老公出現了無故晚歸的現象之前（或者說：剛結婚之後那段甜蜜的日子裡，因為我們相信：從結婚完到事件發生之前，妻子對老公的信任程度都是相同的），她認為老公會出軌的機率有多少？
她發現自己完全無法想像這個在過去從來不曾困擾過自己的問題，而甜蜜的過往對現在的她而言成了剜割心靈的利刃，她已經完全無法相信曾經那麼信任的老公了。
因此傷心的妻子只好去翻閱過去的統計資料：研究發現：在美國本土，任何特定的一年裡，大約有4%已婚的夫婦會對另一半不忠。
另一方面，妻子想像如果自己出軌的話，有五成的機率會忍不住晚歸。她幾乎想像不出如果不是去偷情，怎麼可能天天那麼晚回來？難道是去照顧流浪狗？ 她自己都不太相信。因此她在心裡默默認為：如果不是因為出軌，她先生會晚歸的機率是5%。
現在我們可以想想，在發現老公無故晚歸的前提下，老公出軌的機率是大還是小了，我們將上述文字整理如下：
假如我們把出軌（Cheat）的事件叫做 C，晚歸（Late）的事件叫做 L
1.      事前機率（老公無故晚歸的事件發生之前）：
丈夫外遇出軌可能性的初始估計：P(C) = 4%
2.      新事件發生：發現老公無故晚歸
                            i.      以丈夫外遇為條件，出現無故晚歸行為的機率：P(L|C) = 50%
                          ii.      以丈夫沒有外遇為條件，出現無故晚歸行為的機率：P(L|C’ ) = 5%
3.       事後機率（老公無故晚歸的事件發生之後）：
已知丈夫無故晚歸，修正後得到他確實出軌的機率：
瞧，事情沒有想像中那麼糟糕，老公晚歸跑去偷情的機率其實並不高，是不是該好好釐清一下呢？
標籤：

留言

張貼留言

這個網誌中的熱門文章

淺談條件機率(三)：貝氏定理的能力(I)

( 五 ) . 貝氏定理的能力（ I ） 違反直覺 我們都知道：對於一枚公正的硬幣來說，出現正面和反面的機率皆是 50% ，這代表說：當我們丟 100 次硬幣，出現正面的次數一定會是 50 次嗎？ 既然我這樣問了，代表不會剛好 50 次。但直覺上來說，似乎丟 100 次這樣的硬幣，我們得到 50 次正面的機率應該相當的高。實際上，恰好出現 50 次正面的機率只有 8% （雖然是最高的沒錯），出現 40 次正面的機率更低，大概是 1% ；不過要注意的是：出現正面次數在 40 次～ 60 次之間的機率卻高達 96% ！ 舉另一個例子： 你看到一套防毒軟體，這個軟體聲稱會對你下載的所有檔案都掃描一次， 病毒偵測準確度達 99% 。 這個「 99% 」令你眼前一亮，心想︰「這個軟體看來相當可靠，準確度 99% 呢！！！」於是你便把它買下，並成功把它安裝了。 安裝了這個軟件一段日子，有一天，這個軟件突然響起警報，這個時候最正常的問題便是「我下載的檔案真的帶有病毒嗎？」又或者說，這個軟體誤鳴的機率有多高？ 你認為誤鳴率就是 100% – 99% = 1% 嗎？ 首先，我們要知道： 故事裡防毒軟體廣告中的 99% 是指，當有病毒入侵時，有 99% 的機率會響起警報 ß à 而不是當響起警報時，有 99% 機會是真的有病毒 ，這兩個概念是完全不同的。 如果下載的檔案有 0.005 的機會是帶有病毒（為了簡化問題，我們假設平均每 200 個下載的檔案中會遇見一個遭受感染的檔案）。 我們可以畫個表格來量化地說明這個問題： 警報響起 警報沒有響起 TOTAL 有病毒 99% × 0.005 = 0.00495 1% × 0.005 0.005 沒有病毒 1% × 0.995 99% × 0.995 0.995 TOTAL 0.0149 0.9851 運用貝氏定理，我們可以得出以下的結論。 當警報響起時，我們很不幸地下載到了有病毒的檔案的機率是： P ( 有病毒 | 警報響起 ) = 0.00495 / (0.00495+...
張貼留言
閱讀完整內容

淺談條件機率(四)：貝氏定理的能力(II)

( 六 ) . 貝氏定理的能力（ II ） 倒果為因 你一定不會好奇給老師很多出題空間的貝氏定理為什麼會出現，以及「貝氏」是哪個惱人的傢伙，但我們還是先來談談貝氏乃何許人也吧： Thomas Bayes （ 1702-1761 ），貝氏定理有記載的發明人；他是英國的數學家，也是長老會的牧師。有天，他在「擺弄」條件機率的公式時，赫然發現這些公式都是 對稱 的！ 對稱是什麼意思？如果你呼過別人巴掌，或是被呼過巴掌，你就能真正瞭解這個詞的意涵。在這裡我們要呼叫一下牛頓，牛頓的第三運動定律：「作用力與反作用力」敘述的是：當你一巴掌打在別人的臉上，別人也同時用臉打了你的手掌（不過相對於手掌，臉皮還是比較薄，所以能選的話還是用手打人比較好）。 現在我們把手掌換成事件的成因，臉換成結果（事件）。蒐集關於原因的資訊，我們可以計算出某項結果發生的機率，我們稱這是：「 正向機率 （ direct probability ）」。而當我們有了發生的機率值，也相當於反向地透露出臉紅是因為被手掌打到（而不是因為害羞）的可能性。 原因暴露了可能結果的資訊；結果中隱含可能原因的資訊，像這樣原因結果互相糾纏，就是條件機率的對稱，用數學的語言來描述就是： … … … (1) 讓我們假設 A 是結果， B 是原因。 P ( A | B ) 就是某項原因引發特定結果的機率； P ( B | A ) 指的是特定結果由某個原因引發的機率。證明很簡單，重新整理條件機率的公式，我們有： … … … (2) A ∩ B 代表某個特定結果和某個特定原因同時發生。而因為 A ∩ B = B ∩ A ，所以把 (2) 裡面所有的 A 換成 B ， B 換成 A ，就可以得到 (1) 的結論了。 在 18 世紀，學者們已經能夠計算正向機率。比方說這個例子：假設袋子裡面有 N 個白球與 M 個黑球，摸到黑球的機率有多大？這是個很直覺的問題，我們還在娘胎裡時就會估計了！但是，要回答所謂「正向機率」的問題，有個很重要的先決條件：我們自己必須是 全知 的上帝，掌握這世界上所有的資訊（包括某個亂七八糟袋子裡白球和黑球的數量）。 然而在現實中，我們比較可能碰到的問題是：面對某個很大的袋子，裡面裝了很多很多（真的非常多）各種顏色的球；而因為球太多了，袋子也太大了，我們無法...
張貼留言
閱讀完整內容

淺談條件機率(二)

( 三 ) . 保險像種精確的賭博 保險是這樣運作的：如果你本身很容易發生危險，你就需要支付很多的錢來說服別人保護你；換句話說：在保險公司看來，給你保障的成本（或說是風險）很高。另一方面，如果長期以來，你證明了自己需要保險公司支出的資源很少很少，保險公司保護你的成本很小，你所需要支付的保險費用當然就相應的低了。 以保險公司決定車險費率的模型為例： 現在考慮一個簡化的模型，在這個模型中，所有的人分為兩個群組，一個是 高風險群 ，平均每年發生一次意外；另一個是 低風險群 ，平均每年發生少於一次意外。如果你是個駕駛新手，你應該是屬於哪個風險群呢？ 由於保險公司並沒有你的資訊，他們有可能根據一般新手的經驗值，認定你有三分之一的機會屬於高風險群、三分之二的機會屬於低風險群。這種情形下，你的保費就等於三分之一高風險群保費，加上三分之二低風險群保費。 經過一年觀察，保險公司就可以根據這個新數據來重新評估，修正三分之一與三分之二的比例，重新計算保費。隨後幾年，也可以依同樣的方式定期重新評估，看看收取多少才是恰當的保費金額。 Reference ： 【精準預測】讀後感 3 ( 四 ) . 真正的賭博 – 21 點的故事 電影決勝 21 點，英文片名就叫作 21 ，改編自小說 “ Bringing down the house ” （ bring down ， 有打敗的意思； house ，可以指稱為賭場）。 內容敘述一個 MIT （麻省理工學院）的高材生，獲得了哈佛醫學院的入學資格，但無法支付龐大學費。為了贏取獎學金，這位高材生必須有特別的經歷來讓口試老師驚艷。 有天，這位高材生被教授邀請，加入他領導的神秘的 21 點社團學習算牌。藉由算牌，這個社團贏遍了全美的賭城，而年青人卻漸漸地迷失在金錢世界之中 … 。 Bringing down the house 改編自現實事件，真實世界的主角還是位華人，是一位聰明的馬先生（父親是化工教授）。 在這部電影，為何主角會被教授選上，進入了秘密的 21 點社團呢？原因是，他有來上課！喔，這是必要的！沒有啦，真正的關鍵是教授在上課時，問了一個問題，只有他答對了。 這個問題其實就是有名的 Monty Hall Problem （ Monty Hall 是電視節目主持人的名字）：假設有三...
張貼留言
閱讀完整內容